本试卷共4 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
（1）若集合 A { x | x 2 0}， { | 1}
x
B x e ，则A B （ ）
（A）R （B） ( , 2 )
（C）(0 , 2 ) （D）( 2 , )
（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0, ) 上单调递增的是 （ ）
（A） f ( x ) ln | x | （B） ( ) 2
x
f x
（C） 3
f ( x ) x （D） 2
f ( x ) x
（3）已知向量a (1, 0 )，b ( 1,1) ，则 （ ）
（A） a / / b （B） a b
（C）(a b ) / / b （D）(a b ) a
（4）已知数列{ } n a 满足
1 2 2 2 ( 1, 2, 3, ...) n a a a a n ，则 （ ）
（A） 1 a 0 （B）
1 a 0
（C） 1 2 a a （D）
2 a 0
（5）将s in ( 2 )
6
y x
的图象向左平移
6
个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）
（A） y s in 2 x （B） y c o s 2 x
（C） s in ( 2 )
3
y x
（D） s in ( 2 )
6
y x
（6）设 R ，则“ 是第一象限角”是“s in c o s 1”的 （ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）设 s in s in
e e
x x
f x
（ x R ），则下列说法不正确的是 （ ）
（A） f x 为R 上偶函数 （B） 为 f x 的一个周期
（C） 为 f x 的一个极小值点 （D） f x 在区间( 0 , )
2
上单调递减
（8）已知非空集合A, B 满足以下两个条件：
（ⅰ） A B 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 ， A B ；
（ⅱ） A 的元素个数不是A 中的元素， B 的元素个数不是B 中的元素，
则有序集合对 A , B 的个数为 （ ）
（A）1 0 （B）1 2 （C）1 4 （D）1 6
第二部分（非选择题，共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9） 定积分
1
3
1
x d x
的值等于 ．
（10）设在海拔x （单位：m）处的大气压强y （单位：kPa）， y 与x 的函数关系可近似
表示为1 0 0 e
a x
y ，已知在海拔1000 m 处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海
拔2000 m 处的大气压强为 kPa．
（11）能够说明“设x 是实数．若 x 1 ，则
1
3
1
x
x
”是假命题的一个实数x 的值
为 ．
（12）已知 A B C 是边长为 2 的正三角形，O ，D 分别为边A B ，B C 的中点，则
① A D A C ；
② 若O C x A B y A D ，则x y ．
（13）已知函数
1
( )
s in ( )
f x
x
（其中 0 ，
2
）的部分
图象如图所示，则 ， ．
（14）已知函数 f ( x ) 是定义在R 上的奇函数，
当x 0 时， 2
f ( x ) x a x a ，其中a R ．
① f ( 1) ；
② 若 f ( x ) 的值域是R ，则a 的取值范围是 ．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
已知函数( ) 2 2 c o s s in ( ) 1
4
f x x x
．
（Ⅰ）求( )
4
f
的值；
（Ⅱ）求 f ( x ) 在区间[0 , ]
2
上的最大值和最小值．
（16）（本小题13 分）
已知{ } n a 是等比数列，满足
2 a = 6 ，
3 a = - 1 8，数列{ } n b 满足
1 b 2 ，且{2 } n n b a
是公差为2 的等差数列．
（Ⅰ）求数列{ } n a 和{ } n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{ } n b 的前n 项和．
（17）（本小题13 分）
已知函数( ) ( 1) ln
a
f x x a x
x
，其中a 0 ．
（Ⅰ）当a 2 时，求曲线 y f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程；
（Ⅱ）求 f ( x ) 在区间[1, e ]上的最小值．（其中e 是自然对数的底数）
（18）（本小题13 分）
如图，在四边形A C B D 中，
1
c o s
7
C A D ，且 A B C 为正三角形.
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（Ⅰ）求c o s B A D 的值；
（Ⅱ）若C D 4 ，BD 3 ，求 A B 和A D 的长.
（19）（本小题14 分）
已知函数( ) 2 e s in
x
f x x （0 x ），g(x) (x nl)1 x m （m R ）
（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间；
（Ⅱ）求证：1是g ( x ) 的唯一极小值点；
（Ⅲ）若存在a ，b (0 , ) ，满足 f ( a ) g (b ) ，求m 的取值范围.（只需写出结论）
（20）（本小题14 分）
若数列A ：
1 a ，
2 a ，…，
n a （n 3 ）中 *
i a N （1 i n ）且对任意的2 k n 1
1 1 2 k k k a a a 恒成立，则称数列A 为“U 数列”．
（Ⅰ）若数列1 ， x ， y ， 7 为“U 数列”，写出所有可能的x ， y ；
（Ⅱ）若“U 数列” A ：
1 a ，
2 a ，…，
n a 中，
1 a 1， 2 0 1 7 n a ，求n 的最大值；
（Ⅲ）设
0 n 为给定的偶数，对所有可能的“U 数列” A ：
1 a ，
2 a ，…，
0 n a ，
记
0 1 2 m ax { , , . . . , } n M a a a ，其中
1 2 m ax { , , ..., } s x x x 表示
1 x ，
2 x ，…，
s x 这s 个数中最大
的数，求M 的最小值．
海淀区高三年级第一学期期中考试参考答案 2017.11
数 学（理科）
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.
Z*xx*k.Com]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C A D D B C D[来 A
二、填空题:本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.(有两空的小题第一空3 分)
9． 0 10．81 11．2 12．（1） 3 （2）
1
2
13． 2 ，
3
14．（1） 1 （2）( , 0 ] [ 4 , )
三、解答题: 本大题共6 小题，共80 分.
15．（本题13 分）
解：（Ⅰ）因为 ( ) 2 2 co s s in 1
4 4 2
f
…1 分
2
2 2 1 1
2
……………………2 分
1 ……………………3分
（Ⅱ） ( ) 2 2 c o s s in ( ) 1
4
f x x x
2 2
2 2 co s ( s in + co s ) 1
2 2
x x x ……………………4分
2
2 s in x co s x 2 co s x 1
s in 2 x co s 2 x ……………………8 分
（一个公式2 分）
2 s in ( 2 )
4
x
…………10 分
因为0
2
x
， 所以
5
2
4 4 4
x
……11 分
所以
2
s i n 2 1
2 4
x
故 1 2 s in 2 2
4
x
当2 ,
4 2
x
即
8
x
时， f ( x ) 有最大值 2
当
5
2 ,
4 4
x
即
2
x
时， f ( x ) 有最小值 1 …13分
（函数最大值和最小值结果正确1 分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1 分）
16．（本题13 分）
解：（Ⅰ）设数列{ } n a 的公比为q ，则
2 1
2
3 1
6
18
a a q
a a q
……………………2 分
解得
1 a 2 ，q 3 ……3 分
所以， 1
2 ( 3)
n
n a
……5 分
令2 n n n c b a ，则
1 1 1 c 2b a 2
2 ( 1) 2 2 n c n n ……………………7 分
1
( 3)
2
n n n
n
c a
b n
……………………9 分
（Ⅱ）
( 1) 1 ( 3)
2 4
n
n
n n
S
……13 分
（分组求和，每组求对给2 分）
17．（本题13 分）
解：（Ⅰ）当a 2 时，
2
f ( x ) x 3 ln x
x
2
( 1) ( 2 )
'( )
x x
f x
x
，……1 分
此时， f (1) 1， f '(1) 0 ， ……2 分
故曲线 y f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y 1． ………3分
（Ⅱ） ( ) ( 1) ln
a
f x x a x
x
的定义域为(0 , ) ……4分
2 2
1 ( 1) ( )
'( ) 1
a a x x a
f x
x x x
……………………5 分
令 f '( x ) 0 得，x a 或x 1 ……6 分
① 当0 a 1时，
对任意的1 x e ， f '( x ) 0 ， f ( x ) 在[1, e ] 上单调递增 ……7分
f ( x ) f (1) 1 a 最小 …………8 分
② 当1 a e 时
x (1, a ) a ( a , e )
f '( x ) 0
f ( x ) ↘ 极小 ↗
…………10 分
f ( x ) f ( a ) a 1 ( a 1) ln a 最小
…………11 分
② 当a e 时，
对任意的1 x e ， f '( x ) 0 ， f ( x ) 在[1, e ] 上单调递减 ……12 分
( ) ( ) ( 1)
a
f x f e e a
e
最小 …………………… 13 分
由①、②、③可知，
1 , 0 1
( ) 1 ( 1) ln , 1
( 1) ,
a a
g a a a a a
a
a a
e
e e
e
18．（本题13 分）
解：（Ⅰ）因为
1
c o s
7
C A D ， C A D (0 , )
所以
4 3
s in
7
C A D
…………………… 2 分 （没写角取值范围的扣1 分 ）
所以 c o s B A D
c o s ( )
3
C A D
c o s c o s s in s in
3 3
C A D C A D
……………………4 分
1 1 4 3 3
7 2 7 2
1 1
1 4
…………………… 6 分
（Ⅱ）设 A B A C B C x ， A D y ，在 A C D 和 A B D 中由余弦定理得
2 2 2
2 2 2
2 c o s
2 c o s
A C A D A C A D C A D C D
A B A D A B A D B A D B D
…………………10 分
（每个公式给2 分）[,k.Com]
代入得
2 2
2 2
2
1 6
7
1 1
3
7
x y x y
x y x y
解得
7
7
x
y
或
7
7
x
y
（舍）
即 A B 7 ， AD 7 ……13分
19．（本题14 分）
解：（Ⅰ） 因为'( ) 2 ( s in co s )
x x
f x e x e x ……2分
2 s in ( )
4
x
x
e
令 f '( x ) 0 ，得s in ( ) 0
4
x
[源:Zxxk.Co
因为0 x ，所以
3
4
x ……3 分
当x 变化时， f '( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下：
x
3
(0 , )
4
3
4
3
( , )
4
f '( x ) 0
f ( x ) 极大值
…………………… 5 分
故 f ( x ) 的单调递增区间为
3
(0 , )
4
， f ( x ) 的单调递减区间为
3
( , )
4
……6 分
（Ⅱ）证明： g ( x ) ( x 1) ln x m
1
g '( x ) ln x 1
x
（x 0 ）， ……7 分
设
1
h ( x ) g '( x ) ln x 1
x
，则 '
2
1 1
h ( x ) 0
x x
故g '( x ) 在(0 , )是单调递增函数， ……8 分
又 g '(1) 0 ，故方程g '( x ) 0 只有唯一实根x 1 ……10分
当x 变化时，g '( x ) ，g ( x ) 的变化情况如下：
x (0 ,1) 1 (1, )
g '( x ) 0
g ( x ) 极小值
…………12 分
故g ( x ) 在x 1 时取得极小值g (1) m ，即1是g ( x ) 的唯一极小值点.
（Ⅲ）
3
4 m
e ……14 分
20．（本题14 分）
解：（Ⅰ）
1
2
x
y
，
1
3
x
y
或
2
4
x
y
……3 分
（Ⅱ） n 的最大值为6 5 ，理由如下 ……4 分
一方面，注意到：
1 1 1 1 2 k k k k k k k a a a a a a a
对任意的1 i n 1 ，令
i i 1 i b a a ，则
i b Z 且
k k 1 b b （2 k n 1），
故
1 1 k k b b 对任意的2 k n 1恒成立．
（★）
当
1 a 1， 2 0 1 7 n a 时，注意到
1 2 1 b a a 1 1 0 ，得
1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 i i i i i b b b b b b b b i （2 i n 1）
此时
1 1 2 1
1
0 1 2 2 ( 1) ( 2 )
2
n n a a b b b n n n
即
1
( 1) ( 2 ) 2 0 1 7 1
2
n n ，解得： 6 2 n 6 5 ，故n 6 5 ……7分
另一方面，取1 i b i （1 i 6 4 ），则对任意的2 k 6 4 ，
k k 1 b b ，故数
列{ } n a 为“U 数列”，此时
65 a 1 0 1 2 6 3 2 0 1 7 ，即n 6 5 符合题意．
综上， n 的最大值为65． …………9 分
（Ⅲ） M 的最小值为
2
0 0 2 8
8
n n
，证明如下： …………………… 10 分
当
0 n 2m （m 2 ， *
m N ）时，
一方面：
由（★）式，
1 1 k k b b ，
1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m ．
此时有：
1 2 1
1 2 2 1 1 2 1
1 1 2 2 2 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 1)
m m m
m m m m
m m m m
a a a a
b b b b b b
b b b b b b
m m m
m m
故
2 2
1 2 1 0 0 ( 1) 2 2 8
2 2 2 8
m m m a a a a m m m m n n
M
……13 分
另一方面，当
1 b 1 m ，
2 b 2 m ，…，
1 1 m b ， 0 m b ，
1 1 m b ，…，
2 1 1 m b m 时，
1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 0 k k k k k k k k k a a a a a a a b b
取1 m a ，则
1 1 m a ，
1 2 3 m a a a a ，
m 1 m 2 2 m
a a a
，且
1 1 2 1
1
( ) ( 1) 1
2
m m a a b b b m m
2 1 1 2 2 1
1
( ) ( 1) 1
2
m m m m m a a b b b m m
此时
2
0 0
1 2
1 2 8
( 1) 1
2 8
m
n n
M a a m m
．
综上， M 的最小值为
2
0 0 2 8
8
n n
．
……………14 分
编辑者：东莞家教（东莞家教网)
